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diff --git a/ealg/n1.lyx b/ealg/n1.lyx index a5d022d..c0fcd21 100644 --- a/ealg/n1.lyx +++ b/ealg/n1.lyx @@ -211,7 +211,7 @@ polinomios constantes \begin_layout Standard Dado -\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ \end_inset , llamamos @@ -223,7 +223,7 @@ grado \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{gr}(p):=\max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$ +\begin_inset Formula $\text{gr}(p)\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$ \end_inset , @@ -831,7 +831,7 @@ euclídea \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D\mid (a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$ +\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D:(a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$ \end_inset . @@ -968,7 +968,7 @@ Para \end_inset , existe -\begin_inset Formula $m:=\max\{k\in\mathbb{N}\mid (X-a)^{k}\mid f\}$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid (X-a)^{k}\mid f\}$ \end_inset . @@ -1155,19 +1155,19 @@ Dado un anillo [...] derivada \series default de -\begin_inset Formula $P:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ \end_inset como -\begin_inset Formula $P':=[...]:=\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ +\begin_inset Formula $P'\coloneqq [...]\coloneqq \sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ \end_inset , y escribimos -\begin_inset Formula $P^{(0)}:=P$ +\begin_inset Formula $P^{(0)}\coloneqq P$ \end_inset y -\begin_inset Formula $P^{(n+1)}:=P^{(n)\prime}$ +\begin_inset Formula $P^{(n+1)}\coloneqq P^{(n)\prime}$ \end_inset . @@ -1605,7 +1605,7 @@ Como \end_inset no es cero ni unidad, -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f>0$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f>0$ \end_inset , y como el coeficiente principal de @@ -1634,7 +1634,7 @@ Como \end_deeper \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $p:=\text{car}K\neq0$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \text{car}K\neq0$ \end_inset , @@ -1713,7 +1713,7 @@ Para \end_inset y, sea -\begin_inset Formula $g:=\sum_{j}b_{j}X^{j}$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq \sum_{j}b_{j}X^{j}$ \end_inset , @@ -1875,7 +1875,7 @@ teorema \end_inset ], -\begin_inset Formula $c(p):=\{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ +\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq \{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ \end_inset , y [...] si @@ -2003,11 +2003,11 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ \end_inset , todas las raíces de @@ -2043,11 +2043,11 @@ Criterio de reducción: \end_inset es primo, -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ \end_inset es primitivo, -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ \end_inset , @@ -2083,11 +2083,11 @@ Criterio de Eisenstein: \end_inset un DFU, -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset primitivo y -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$ \end_inset , si existe un irreducible @@ -2157,7 +2157,7 @@ La irreducibilidad se conserva por automorfismos de dominios, por lo que \end_inset , -\begin_inset Formula $f:=X^{6}+X^{3}+1$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq X^{6}+X^{3}+1$ \end_inset es irreducible, pues @@ -2181,7 +2181,7 @@ Si \end_inset es primo, -\begin_inset Formula $f(X):=\frac{X^{p}-1}{X-1}=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots+X+1$ +\begin_inset Formula $f(X)\coloneqq \frac{X^{p}-1}{X-1}=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots+X+1$ \end_inset es irreducible en @@ -2275,7 +2275,7 @@ recíproco \end_inset son los ceros de -\begin_inset Formula $f(x):=p(x)/x^{n/2}:K^{*}\to K$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq p(x)/x^{n/2}:K^{*}\to K$ \end_inset , que será de la forma @@ -2287,12 +2287,12 @@ f(x)=p_{0}x^{k}+\dots+p_{k-1}x+p_{k}+p_{k-1}x^{-1}+\dots+p_{0}x^{-k}, \end_inset donde -\begin_inset Formula $k:=n/2$ +\begin_inset Formula $k\coloneqq n/2$ \end_inset . Haciendo el cambio de variable -\begin_inset Formula $y:=x+x^{-1}$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq x+x^{-1}$ \end_inset nos queda una función polinómica de grado @@ -2681,11 +2681,11 @@ primitiva \begin_layout Standard Dado -\begin_inset Formula $f:=Y^{3}+3pY+2q\in\mathbb{C}[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq Y^{3}+3pY+2q\in\mathbb{C}[X]$ \end_inset , si -\begin_inset Formula $\omega:=e^{2\pi i/3}$ +\begin_inset Formula $\omega\coloneqq e^{2\pi i/3}$ \end_inset , existe @@ -2878,7 +2878,7 @@ Para \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $f:=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\in\mathbb{C}[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq aX^{3}+bX^{2}+cX+d\in\mathbb{C}[X]$ \end_inset , podemos obtener las raíces de @@ -3078,7 +3078,7 @@ evaluación \end_inset viene dado por -\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n}):=S(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n})\coloneqq S(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ \end_inset [, y @@ -3098,7 +3098,7 @@ valor \end_inset en -\begin_inset Formula $b:=(b_{1},\dots,b_{n})$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq (b_{1},\dots,b_{n})$ \end_inset ]. @@ -3212,11 +3212,11 @@ A[b_{1},\dots,b_{n}]\cong\frac{A[X_{1},\dots,X_{n}]}{\ker S}, \begin_layout Standard Por ejemplo, -\begin_inset Formula $b_{1}:=1/\pi$ +\begin_inset Formula $b_{1}\coloneqq 1/\pi$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b_{2}:=1+\sqrt{\pi}$ +\begin_inset Formula $b_{2}\coloneqq 1+\sqrt{\pi}$ \end_inset son algebraicamente dependientes, pues satisfaces @@ -3346,7 +3346,7 @@ Sean \end_inset con inversa -\begin_inset Formula $\tau:=\sigma^{-1}$ +\begin_inset Formula $\tau\coloneqq \sigma^{-1}$ \end_inset , tomando @@ -3371,7 +3371,7 @@ Sean que permuta las indeterminadas. [Llamamos -\begin_inset Formula $f^{\sigma}:=\hat{\sigma}(f)$ +\begin_inset Formula $f^{\sigma}\coloneqq \hat{\sigma}(f)$ \end_inset .] @@ -3413,7 +3413,7 @@ Todo homomorfismo de anillos conmutativos \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\hat{f}(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $\hat{f}(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ \end_inset . @@ -3859,11 +3859,11 @@ Demostración: y el resultado se sigue por inducción. Sean -\begin_inset Formula $f:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}a_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}a_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $g:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}b_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}b_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ \end_inset , entonces @@ -3967,19 +3967,19 @@ Queremos ver que, para . Con esto, sean -\begin_inset Formula $A:=\{i\in\mathbb{N}^{n}\mid a_{i}\neq0\}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{i\in\mathbb{N}^{n}\mid a_{i}\neq0\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $B:=\{j\in\mathbb{N}^{n}\mid b_{j}\neq0\}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \{j\in\mathbb{N}^{n}\mid b_{j}\neq0\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $i^{*}:=\max A$ +\begin_inset Formula $i^{*}\coloneqq \max A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $j^{*}:=\max B$ +\begin_inset Formula $j^{*}\coloneqq \max B$ \end_inset , para diff --git a/ealg/n2.lyx b/ealg/n2.lyx index cbcd97d..14447e8 100644 --- a/ealg/n2.lyx +++ b/ealg/n2.lyx @@ -221,7 +221,7 @@ Algunas extensiones son \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $c:=(a+b\sqrt{m})(a-b\sqrt{m})=a^{2}-mb^{2}\in\mathbb{Q}\setminus0$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq (a+b\sqrt{m})(a-b\sqrt{m})=a^{2}-mb^{2}\in\mathbb{Q}\setminus0$ \end_inset , pues @@ -311,7 +311,7 @@ subanillo primo \end_inset a -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1:=\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq \{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset , el menor subanillo de @@ -389,7 +389,7 @@ Demostración: \end_inset dado por -\begin_inset Formula $f(n):=n1$ +\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq n1$ \end_inset es un homomorfismo inyectivo y la propiedad universal nos da un homomorfismo @@ -403,7 +403,7 @@ Demostración: . Es claro entonces que -\begin_inset Formula $K':=\tilde{f}(\mathbb{Q})$ +\begin_inset Formula $K'\coloneqq \tilde{f}(\mathbb{Q})$ \end_inset es isomorfo a @@ -506,7 +506,7 @@ grado \end_inset a -\begin_inset Formula $[L:K]:=\dim_{K}L$ +\begin_inset Formula $[L:K]\coloneqq \dim_{K}L$ \end_inset , la dimensión de @@ -926,7 +926,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sean -\begin_inset Formula $a:=\sum_{i\in I}a_{i}\alpha_{1}^{i_{1}}\cdots\alpha_{p}^{i_{p}},b:=\sum_{j\in J}b_{i}\beta_{1}^{j_{1}}\cdots\beta_{q}^{i_{q}}\in K(S)$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \sum_{i\in I}a_{i}\alpha_{1}^{i_{1}}\cdots\alpha_{p}^{i_{p}},b\coloneqq \sum_{j\in J}b_{i}\beta_{1}^{j_{1}}\cdots\beta_{q}^{i_{q}}\in K(S)$ \end_inset , con @@ -1586,7 +1586,7 @@ Extensiones \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(\tau):=\sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}$ +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(\tau)\coloneqq \sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}$ \end_inset es un isomorfismo de grupos, dado que @@ -1709,15 +1709,15 @@ status open \begin_layout Plain Layout Para esto se usa el transporte de estructuras. Sea -\begin_inset Formula $\varphi:K\to(L_{0}:=K[X]/(g))$ +\begin_inset Formula $\varphi:K\to(L_{0}\coloneqq K[X]/(g))$ \end_inset el homomorfismo -\begin_inset Formula $\varphi(a):=a+(g)$ +\begin_inset Formula $\varphi(a)\coloneqq a+(g)$ \end_inset , definimos -\begin_inset Formula $L:=K\amalg(L_{0}\setminus\varphi(K))$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq K\amalg(L_{0}\setminus\varphi(K))$ \end_inset y las operaciones en @@ -1725,11 +1725,11 @@ Para esto se usa el transporte de estructuras. \end_inset -\begin_inset Formula $a+b:=\psi^{-1}(\psi(a)+\psi(b))$ +\begin_inset Formula $a+b\coloneqq \psi^{-1}(\psi(a)+\psi(b))$ \end_inset y -\begin_inset Formula $ab:=(\psi(a)\psi(b))$ +\begin_inset Formula $ab\coloneqq (\psi(a)\psi(b))$ \end_inset , donde @@ -1737,7 +1737,7 @@ Para esto se usa el transporte de estructuras. \end_inset viene dado por -\begin_inset Formula $\psi(a):=\varphi(a)$ +\begin_inset Formula $\psi(a)\coloneqq \varphi(a)$ \end_inset para @@ -1745,7 +1745,7 @@ Para esto se usa el transporte de estructuras. \end_inset y -\begin_inset Formula $\psi(a):=a$ +\begin_inset Formula $\psi(a)\coloneqq a$ \end_inset para @@ -1812,7 +1812,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $L:=K[X]/(g)$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq K[X]/(g)$ \end_inset es un cuerpo. @@ -2092,7 +2092,7 @@ Si \end_inset y -\begin_inset Formula $\omega:=e^{2\pi i/n}\in\mathbb{C}$ +\begin_inset Formula $\omega\coloneqq e^{2\pi i/n}\in\mathbb{C}$ \end_inset , @@ -2315,7 +2315,7 @@ simple \end_inset y -\begin_inset Formula $\alpha:=[X]=X+I\in L$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq [X]=X+I\in L$ \end_inset la raíz, para @@ -2501,7 +2501,7 @@ Como \end_deeper \begin_layout Enumerate Sea -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$ \end_inset , @@ -2542,7 +2542,7 @@ Si \end_inset pero entonces -\begin_inset Formula $g:=\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}\in K[X]\setminus0$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq \sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}\in K[X]\setminus0$ \end_inset tendría a @@ -2708,7 +2708,7 @@ Si \end_inset es primo y -\begin_inset Formula $\xi:=e^{2\pi i/p}$ +\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/p}$ \end_inset , @@ -2965,11 +2965,11 @@ Demostración: . Sean -\begin_inset Formula $F_{p}:=\mathbb{Q}[\sqrt{p}]$ +\begin_inset Formula $F_{p}\coloneqq \mathbb{Q}[\sqrt{p}]$ \end_inset y -\begin_inset Formula $F_{q}:=\mathbb{Q}[\sqrt{q}]$ +\begin_inset Formula $F_{q}\coloneqq \mathbb{Q}[\sqrt{q}]$ \end_inset , @@ -2986,12 +2986,12 @@ Demostración: . Claramente -\begin_inset Formula $S:=\{a+b\sqrt{p}+c\sqrt{q}+d\sqrt{pq}\}_{a,b,c,d\in\mathbb{Q}}\subseteq F_{p}F_{q}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{a+b\sqrt{p}+c\sqrt{q}+d\sqrt{pq}\}_{a,b,c,d\in\mathbb{Q}}\subseteq F_{p}F_{q}$ \end_inset . Sea ahora -\begin_inset Formula $\alpha:=\sqrt{p}+\sqrt{q}\in S$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sqrt{p}+\sqrt{q}\in S$ \end_inset , @@ -3105,7 +3105,7 @@ status open \end_inset , es algebraico, y si -\begin_inset Formula $d:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset , @@ -3154,7 +3154,7 @@ Sean \end_inset un isomorfismo de cuerpos y -\begin_inset Formula $f':=\sigma(f)$ +\begin_inset Formula $f'\coloneqq \sigma(f)$ \end_inset con una raíz @@ -3213,7 +3213,7 @@ Demostración: . Sea -\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(g(\alpha)):=\sigma(g)(\alpha')$ +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(g(\alpha))\coloneqq \sigma(g)(\alpha')$ \end_inset , @@ -3415,7 +3415,7 @@ Sea \end_inset Sea -\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset , sabemos que al ser @@ -3880,11 +3880,11 @@ grupo cíclico \end_inset a -\begin_inset Formula $C_{n}:=\{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1}\}$ +\begin_inset Formula $C_{n}\coloneqq \{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1}\}$ \end_inset con [...] -\begin_inset Formula $a^{i}a^{j}:=a^{[i+j]_{n}}$ +\begin_inset Formula $a^{i}a^{j}\coloneqq a^{[i+j]_{n}}$ \end_inset [...]. @@ -3921,7 +3921,7 @@ D_{n}:=\{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1},b,ab,a^{2}b,\dots,a^{n-1}b\} \end_inset con la operación -\begin_inset Formula $(a^{i_{1}}b^{j_{1}})(a^{i_{2}}b^{j_{2}}):=a^{[i_{1}+(-1)^{j_{1}}i_{2}]_{n}}b^{[j_{1}+j_{2}]_{2}}$ +\begin_inset Formula $(a^{i_{1}}b^{j_{1}})(a^{i_{2}}b^{j_{2}})\coloneqq a^{[i_{1}+(-1)^{j_{1}}i_{2}]_{n}}b^{[j_{1}+j_{2}]_{2}}$ \end_inset . @@ -3962,7 +3962,7 @@ Teorema de Lagrange: grupo alternado \series default [...] a -\begin_inset Formula $A_{n}:=\ker\text{sgn}$ +\begin_inset Formula $A_{n}\coloneqq \ker\text{sgn}$ \end_inset , el subgrupo de @@ -4227,7 +4227,7 @@ status open Demostración: \series default Llamando -\begin_inset Formula $m:=\text{Exp}K^{*}$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \text{Exp}K^{*}$ \end_inset , @@ -4293,7 +4293,7 @@ Llamando . Entonces el orden de -\begin_inset Formula $a:=a_{1}+\dots+a_{k}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq a_{1}+\dots+a_{k}$ \end_inset es @@ -4318,7 +4318,7 @@ Sean \end_inset primo y -\begin_inset Formula $\xi:=e^{2\pi i/p}$ +\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/p}$ \end_inset , @@ -4363,7 +4363,7 @@ Demostración: \end_inset donde -\begin_inset Formula $\sigma_{k}(\xi):=\xi^{k}$ +\begin_inset Formula $\sigma_{k}(\xi)\coloneqq \xi^{k}$ \end_inset . @@ -4728,7 +4728,7 @@ cuerpo de números algebraicos cuerpo de los números algebraicos \series default a -\begin_inset Formula ${\cal A}:=\overline{\mathbb{Q}}_{\mathbb{C}}$ +\begin_inset Formula ${\cal A}\coloneqq \overline{\mathbb{Q}}_{\mathbb{C}}$ \end_inset , y @@ -4767,7 +4767,7 @@ números algebraicos \end_inset para -\begin_inset Formula $\xi_{p}:=e^{2\pi i/p}$ +\begin_inset Formula $\xi_{p}\coloneqq e^{2\pi i/p}$ \end_inset , pero @@ -4935,7 +4935,7 @@ Para \end_inset , existe -\begin_inset Formula $f:=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in L[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in L[X]$ \end_inset que tiene a diff --git a/ealg/n4.lyx b/ealg/n4.lyx index 4a46a08..3ad762c 100644 --- a/ealg/n4.lyx +++ b/ealg/n4.lyx @@ -242,7 +242,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $f:=f_{1}\cdots f_{n}$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq f_{1}\cdots f_{n}$ \end_inset , @@ -389,7 +389,7 @@ Un cuerpo de descomposición de \end_inset , con -\begin_inset Formula $\xi:=e^{2\pi i/n}$ +\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/n}$ \end_inset , que también es el cuerpo de descomposición de @@ -567,7 +567,7 @@ por hipótesis de inducción, entonces \end_inset y -\begin_inset Formula $m:=\text{gr}g$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \text{gr}g$ \end_inset , podemos suponer que @@ -635,11 +635,11 @@ Esta cota no es mejorable; por ejemplo, las raíces de \end_inset con -\begin_inset Formula $\alpha:=\sqrt[3]{2}$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sqrt[3]{2}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\omega:=e^{2\pi i/3}$ +\begin_inset Formula $\omega\coloneqq e^{2\pi i/3}$ \end_inset , luego un cuerpo de descomposición es @@ -691,7 +691,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $f':=\sigma(f)$ +\begin_inset Formula $f'\coloneqq \sigma(f)$ \end_inset , si @@ -754,7 +754,7 @@ status open Demostración: \series default Hacemos inducción en -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f=\text{gr}f'$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f=\text{gr}f'$ \end_inset . @@ -816,7 +816,7 @@ Demostración: \end_inset , y como -\begin_inset Formula $g':=\sigma(g)$ +\begin_inset Formula $g'\coloneqq \sigma(g)$ \end_inset es un divisor irreducible de @@ -877,7 +877,7 @@ Demostración: \end_inset con -\begin_inset Formula $h':=\overline{\sigma}(h)$ +\begin_inset Formula $h'\coloneqq \overline{\sigma}(h)$ \end_inset , luego @@ -1072,7 +1072,7 @@ grupo de Galois \end_inset es -\begin_inset Formula $G_{f}:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G_{f}\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset . @@ -1089,7 +1089,7 @@ grupo de Galois \end_inset lleva raíces a raíces y por tanto -\begin_inset Formula $\sigma|_{\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}}\mid \{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}\to\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ +\begin_inset Formula $\sigma|_{\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}}:\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}\to\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ \end_inset es inyectiva por serlo @@ -1126,7 +1126,7 @@ Para el polinomio ciclotómico \end_inset primo, sea -\begin_inset Formula $\xi:=e^{2\pi i/p}$ +\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/p}$ \end_inset , @@ -1728,7 +1728,7 @@ Sean \end_inset uno de -\begin_inset Formula ${\cal P}':=\sigma({\cal P})$ +\begin_inset Formula ${\cal P}'\coloneqq \sigma({\cal P})$ \end_inset sobre @@ -1808,7 +1808,7 @@ Dado un anillo \end_inset dado por -\begin_inset Formula $h(a):=a^{p}$ +\begin_inset Formula $h(a)\coloneqq a^{p}$ \end_inset es un homomorfismo de anillos, el @@ -1919,7 +1919,7 @@ Como \end_inset y, tomando -\begin_inset Formula $n:=[K:\mathbb{Z}_{p}]$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq [K:\mathbb{Z}_{p}]$ \end_inset , @@ -1956,7 +1956,7 @@ Como \end_inset y por tanto de -\begin_inset Formula $f:=X^{p^{n}}-X$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq X^{p^{n}}-X$ \end_inset , que también es raíz del 0. @@ -2010,7 +2010,7 @@ Para cada \end_inset elementos y viene dado por -\begin_inset Formula $\mathbb{F}_{p^{n}}:=\{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\mid \alpha^{p^{n}}=\alpha\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{F}_{p^{n}}\coloneqq \{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\mid \alpha^{p^{n}}=\alpha\}$ \end_inset . @@ -2019,11 +2019,11 @@ Para cada \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $S:=\{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\mid \alpha^{p^{n}}=\alpha\}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\mid \alpha^{p^{n}}=\alpha\}$ \end_inset el conjunto de raíces de -\begin_inset Formula $f:=X^{p^{n}}-X$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq X^{p^{n}}-X$ \end_inset en @@ -2158,7 +2158,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $t:=\frac{n}{m}$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq \frac{n}{m}$ \end_inset , para @@ -2212,7 +2212,7 @@ Sea \begin_deeper \begin_layout Standard Como -\begin_inset Formula $F:=X^{p^{n}}-X$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq X^{p^{n}}-X$ \end_inset no tiene raíces múltiples, no tiene factores repetidos y es pues el producto @@ -2359,7 +2359,7 @@ Como \end_inset son las raíces de -\begin_inset Formula $f:=X^{p^{n}}-X$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq X^{p^{n}}-X$ \end_inset , @@ -2438,7 +2438,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $L:=\mathbb{F}_{p^{nm}}$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq \mathbb{F}_{p^{nm}}$ \end_inset , entonces @@ -2521,7 +2521,7 @@ La función \end_inset dada por -\begin_inset Formula $h(x):=x^{p}$ +\begin_inset Formula $h(x)\coloneqq x^{p}$ \end_inset es biyectiva. diff --git a/ealg/n5.lyx b/ealg/n5.lyx index 18c97fd..6531d9e 100644 --- a/ealg/n5.lyx +++ b/ealg/n5.lyx @@ -112,7 +112,7 @@ de uno , y llamamos \begin_inset Formula \[ -{\cal U}_{n}(K):=\{\xi\in K\mid \xi^{n}=1\}=\{\xi\in K\mid o_{K^{*}}(\xi)\mid n\}. +{\cal U}_{n}(K):=\{\xi\in K\mid \xi^{n}=1\}=\left\{\xi\in K\;\middle|\;o_{K^{*}}(\xi)\mid n\right\}. \] \end_inset @@ -725,7 +725,7 @@ status open Probamos el contrarrecíproco. Si -\begin_inset Formula $p:=\text{car}K\mid n$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \text{car}K\mid n$ \end_inset , existe @@ -1155,11 +1155,11 @@ Como \end_inset y -\begin_inset Formula $m:=o(x)$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq o(x)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=o(y)$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq o(y)$ \end_inset son coprimos, entonces @@ -1675,7 +1675,7 @@ La extensión ciclotómica de orden \end_inset , con -\begin_inset Formula $m:=o_{\mathbb{Z}_{n}^{*}}(p)$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq o_{\mathbb{Z}_{n}^{*}}(p)$ \end_inset . @@ -1741,7 +1741,7 @@ Dado un cuerpo \end_inset con -\begin_inset Formula $p:=\text{car}K\neq0$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \text{car}K\neq0$ \end_inset y @@ -2047,7 +2047,7 @@ teorema \end_inset , luego si -\begin_inset Formula $\xi:=e^{2\pi i/n}$ +\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/n}$ \end_inset , diff --git a/ealg/n6.lyx b/ealg/n6.lyx index fd441a7..1b95789 100644 --- a/ealg/n6.lyx +++ b/ealg/n6.lyx @@ -239,11 +239,11 @@ Demostración: \end_inset , sean -\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $R:=\{\alpha_{1}\mid =\alpha,\dots,\alpha_{m}\}$ +\begin_inset Formula $R\coloneqq \{\alpha_{1}\coloneqq \alpha,\dots,\alpha_{m}\}$ \end_inset el conjunto de las raíces de @@ -354,7 +354,7 @@ teorema \end_inset Sean -\begin_inset Formula ${\cal P}:=\{f_{\alpha}\mid =\text{Irr}(\alpha,K)\}_{\alpha\in L}\subseteq K[X]\setminus0$ +\begin_inset Formula ${\cal P}\coloneqq \{f_{\alpha}\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)\}_{\alpha\in L}\subseteq K[X]\setminus0$ \end_inset y @@ -595,7 +595,7 @@ Si \end_inset , sean -\begin_inset Formula $f_{\alpha}:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $f_{\alpha}\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset para @@ -1129,7 +1129,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal P}:=\{\text{Irr}(\alpha,K)\}_{\alpha\in S}$ +\begin_inset Formula ${\cal P}\coloneqq \{\text{Irr}(\alpha,K)\}_{\alpha\in S}$ \end_inset , entonces @@ -1244,7 +1244,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $S:=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ \end_inset , el conjunto @@ -1371,7 +1371,7 @@ Sean \end_inset el conjunto de raíces de los -\begin_inset Formula $f_{i}:=\text{Irr}(\alpha_{i},K)$ +\begin_inset Formula $f_{i}\coloneqq \text{Irr}(\alpha_{i},K)$ \end_inset en @@ -1432,7 +1432,7 @@ Sean \end_inset , con lo que -\begin_inset Formula $E_{j}:=\overline{\sigma}_{j}(L)$ +\begin_inset Formula $E_{j}\coloneqq \overline{\sigma}_{j}(L)$ \end_inset es un subcuerpo de @@ -1610,7 +1610,7 @@ Sea \end_deeper \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $p:=\text{car}K\neq0$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \text{car}K\neq0$ \end_inset y @@ -1757,7 +1757,7 @@ status open \end_inset Si -\begin_inset Formula $p:=\text{car}K\neq0$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \text{car}K\neq0$ \end_inset , @@ -1819,11 +1819,11 @@ No todos los polinomios irreducibles son separables. \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $K:=\mathbb{Z}_{p}(T)$ +\begin_inset Formula $K\coloneqq \mathbb{Z}_{p}(T)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f(X):=X^{p}-T\in K[X]$ +\begin_inset Formula $f(X)\coloneqq X^{p}-T\in K[X]$ \end_inset , @@ -1897,11 +1897,11 @@ Si \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $g:=\text{Irr}(\alpha,F)$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq \text{Irr}(\alpha,F)$ \end_inset , como diff --git a/ealg/n7.lyx b/ealg/n7.lyx index f5f15b6..3801838 100644 --- a/ealg/n7.lyx +++ b/ealg/n7.lyx @@ -101,7 +101,7 @@ Sean \end_inset una extensión de cuerpos, -\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset , @@ -170,7 +170,7 @@ Propiedades: Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset , @@ -448,7 +448,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset con retículo de subgrupos @@ -559,7 +559,7 @@ clase lateral módulo \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula $G/H:=G/(\equiv_{i}\bmod\ H)$ +\begin_inset Formula $G/H\coloneqq G/(\equiv_{i}\bmod\ H)$ \end_inset . @@ -576,7 +576,7 @@ clase lateral módulo \end_inset a -\begin_inset Formula $[G:H]:=|G/H|$ +\begin_inset Formula $[G:H]\coloneqq |G/H|$ \end_inset . @@ -691,7 +691,7 @@ Dada una torre \begin_deeper \begin_layout Standard Hacemos inducción sobre -\begin_inset Formula $n:=[F:E]$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq [F:E]$ \end_inset . @@ -713,7 +713,7 @@ Hacemos inducción sobre \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $1<s:=[E(\alpha):E]\leq[F:E]=n$ +\begin_inset Formula $1<s\coloneqq [E(\alpha):E]\leq[F:E]=n$ \end_inset , luego @@ -742,7 +742,7 @@ En otro caso, \end_inset , luego -\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,E)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \text{Irr}(\alpha,E)$ \end_inset tiene grado @@ -783,7 +783,7 @@ En otro caso, \end_inset como -\begin_inset Formula $f(\sigma F'):=\sigma(\alpha)$ +\begin_inset Formula $f(\sigma F')\coloneqq \sigma(\alpha)$ \end_inset , y esto está bien definido y es inyectivo ya que @@ -840,7 +840,7 @@ teorema \end_inset una torre de extensiones, -\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset y @@ -1117,7 +1117,7 @@ Sea \end_inset entonces tiene -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$ \end_inset raíces distintas en @@ -1142,11 +1142,11 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $g:=(X-\alpha_{1})\cdots(X-\alpha_{r})\in L[X]$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq (X-\alpha_{1})\cdots(X-\alpha_{r})\in L[X]$ \end_inset , cada -\begin_inset Formula $\sigma\in G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $\sigma\in G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset permuta las raíces de @@ -1208,7 +1208,7 @@ Como es normal es algebraica, y hay que ver que, para . Sea -\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset , como @@ -1216,7 +1216,7 @@ Como es normal es algebraica, y hay que ver que, para \end_inset , -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f>1$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f>1$ \end_inset , pero por la hipótesis, @@ -1547,11 +1547,11 @@ status open \end_inset Sean -\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $K_{0}:=G'$ +\begin_inset Formula $K_{0}\coloneqq G'$ \end_inset , @@ -1603,7 +1603,7 @@ Sean \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\varphi(\sigma):=(\sigma|_{L_{1}},\sigma|_{L_{2}})$ +\begin_inset Formula $\varphi(\sigma)\coloneqq (\sigma|_{L_{1}},\sigma|_{L_{2}})$ \end_inset es un homomorfismo inyectivo de grupos, que es biyectivo si |